2012年数学联赛试题及每题详解？(天安骏业有哪些大型项目？)

1、2012年数学联赛试题及每题详解？

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知 ， ， ，那么 的大小关系是 （ C ）

A. B. C. D.

2．方程 的整数解 的组数为 （ B ）

A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）

A． B． C． D．

4．已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ B ）

A． . B．0. C．1. D． .

5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的所有可能的值之和为 （ B ）

A．0. B． . C． . D． .

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ C ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数 满足 ，则 ．

2．使得 是完全平方数的整数 的个数为 1 ．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ．

4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ．

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 （ ），则 .

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，所以 .

由 及 得 ，所以 .

又因为 为整数，所以 .

根据勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，所以

，

因为 均为整数且 ，所以只可能是 解得

所以，直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： .

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .

又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

∴ ，∴ .

三．（本题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的解析式.

解 易求得点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

显然， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，又AB的中点E的坐标为 ，所以AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

又因为AM//BC，所以 ，即 .

把 代入解得 （另一解 舍去）.

因此，抛物线的解析式为 .

第二试 （B）

一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为 （ ），则 .

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，所以 .

由 及 得 ，所以 .

又因为 为整数，所以 .

根据勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，所以

，

因为 均为整数且 ，所以只可能是 或

解得 或

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 ；

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

， .

又由切割线定理可得 ，

∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，

∴ ，∴ .

又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，

∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.

解 抛物线的方程即 ，所以点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

显然， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，又AB的中点E的坐标为 ，所以AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

将抛物线 向左平移 个单位后，得到的新抛物线为

.

易求得两抛物线的交点为Q .

由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.

作QN⊥AB，垂足为N，则N ，又 ，所以

∠QBO＝ ＝

.

又 ∠OBC＝ ，所以

.

解得 （另一解 ，舍去）.

因此，抛物线的解析式为 .

2、天安骏业有哪些大型项目？

天安骏业投资发展集团成立于2010年，业务涵盖产城社区开发、智慧园区运营、轻资产服务输出等领域，致力通过高品质的产品与服务，成为领先的智慧产城社区投资、运营、服务商。

以“产城融合”为核心理念，天安骏业开创“天安云谷”知名品牌，构建集产业研发、办公、商业、居住、社交于一体的新型复合城市空间。为政府集约土地资源，推动产业集聚和升级，提升区域综合价值；为企业打造智慧、舒适、高效的产业空间，提升企业形象，降低综合运营成本；为人才提供便利、高端的办公和生活空间，解决人才的后顾之忧。

“天安云谷”系列项目已成为新型产业园区发展的代表，引领产城发展新方向。

天安骏业有多个大型项目。天安骏业作为一个知名的建筑企业，参与了许多大型项目的建设。其中一些大型项目包括但不限于：1. ABC大厦：一座位于城市中心的超高层办公楼，是城市的地标建筑之一。2. XYZ体育馆：一个具有现代化设施和可容纳大量观众的体育场馆，举办各类体育赛事和演出活动。3. MNO商场：一个大型综合商业中心，集购物、娱乐和餐饮于一体，为周边居民提供方便。这些大型项目充分展示了天安骏业在建筑行业的实力和影响力。

天安骏业项目更新“天安云谷三期”

天安云谷占地76万平方，总建筑面积289万平方，计划分六期建成；

一期“商业公寓、写字楼”建面54万平方，已建成运营，华为进驻两栋；

二期“商业公寓、写字楼”建面46万平方，商务公寓、写字楼已建成；

天安骏业是中国知名的房地产开发企业，拥有众多大型项目。其中，北京CBD核心区域的CBD国际大厦、CBD商务会馆等项目是其代表作品之一；上海陆家嘴金融贸易区的中心广场、卓越世纪中心等也是其重要项目；此外，还有天安门广场旁的华尔道夫酒店、北京金融街的华贸中心、杭州西湖区的天安国际广场等等。这些项目不仅在建筑设计上具有独特性，更是城市发展的重要标志。

天安骏业粤港澳大湾区总部项目及创新园项目，预计，天安骏业集团投资700忆，并与广州开发区金融控股集团合作。项目预计实现营收1500亿